Question

如图所示，已知椭圆：的长轴长是短轴长的两倍，且过点，点关于原点的对称点为点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点在椭圆上，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；

（Ⅲ）平行于的直线交椭圆于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.

Answer 1

（Ⅰ）

        椭圆E过点C，

        ，

       椭圆E的方程为。

 （Ⅱ）依题意，得D点的坐标为，且点D在椭圆E上，直线CP和DP的斜率和均存在，设P，则

。

又点P在椭圆E上，，， ，

直线CP和DP的斜率之积为定值。

（Ⅲ）直线CD的斜率为，CD平行于直线，

     设直线的方程为，

由，消去整理，得    设，

则

=

点C到直线MN的距离为

=

当且仅当时取等号

的面积最大值为2，此时直线的方程为。