Question

19．已知f（x）=x³-ax²-a²x+1，（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的图象不存在与l：y=-x平行或重合的切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，对参数a进行分类讨论得出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出导函数，不问题转化为3x²-2ax-a²+1＞0恒成立，利用判别式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x³-ax²-a²x+1，
∴f'（x）=3x²-2ax-a²=（x-a）（3x+a），
当a＜0时，x∈（-∞，a）和（-$\frac{a}{3}$，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，
x∈（a，-$\frac{a}{3}$）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当a＞0时，x∈（-∞，-$\frac{a}{3}$）和（a+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，
x∈（-$\frac{a}{3}$，a）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当a=0时，f'（x）≥0恒成立，f（x）R上递增．
（Ⅱ）若f（x）的图象不存在与l：y=-x平行或重合的切线，
∴f'（x）≠-1，
∴f'（x）=3x²-2ax-a²≠-1恒成立，
∴3x²-2ax-a²+1≠0恒成立，
∴3x²-2ax-a²+1＞0恒成立，
∴△=4a²-12（-a²+1）＜0，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 考查了导函数求函数数的单调区间，难点是对参数的分类讨论和转化思想的应用．