Question

18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示．
（1）求A，ω及φ的值；
（2）若tanα=2，求f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{8}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的最值得到A，再由函数的周期为2（$\frac{5π}{8}$-$\frac{π}{8}$），结合周期公式得到ω的值，再根据函数的最大值对应的x值，代入并解之得φ，从而得到函数的表达式．
（2）由（1）可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），由同角三角函数基本关系式结合tanα=2，可得cosα=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，利用诱导公式即可解得f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{8}$）的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）的最大值为2，最小值为-2，∴A=2．
又∵函数的周期T=2（$\frac{5π}{8}$-$\frac{π}{8}$）=π，∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，
∵函数图象经过点P（$\frac{π}{8}$，2），即：2sin（$\frac{π}{8}$×2+φ）=2，
解之得：$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$．
（2）由（1）可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∵tanα=2，可得：cosα=±$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{8}$）=2sin[2（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{4}$]=2sin（α+$\frac{π}{2}$）=2cosα=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要我们确定其解析式并根据解析式求三角函数值，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的知识，同角三角函数基本关系式，诱导公式的应用，属于中档题．