题目内容
6．
某公司为确定2017年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售收益y（单位：万元）的影响，2016年在若干地区各投入4万元的宣传费，并将各地的销售收益的数据作了初步处理，得到下面的频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度，并估计对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得一组数据如表所示：
| 宣传费x（单位：万元） | 3 | 2 | 1 | 5 | 4 |
| 销售收益y（单位：万元） | 2 | 3 | 2 | 7 | 5 |
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当宣传费投入为10万元时，销售收益大约为多少万元？
附：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．
分析 （Ⅰ）设个小长方形的宽度为m，求出m，可得各区间中点值，即可估计平均值
（Ⅱ）求出回归系数，即可求出回归方程；
（Ⅲ）x=10时，y=12.2，可得结论．
解答 解：（Ⅰ）设个小长方形的宽度为m，则（0.08+0.10+0.14+0.12+0.04+0.02）m=1，∴m=2．
各区间中点值分别为1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，
估计平均值为1×0.16+3×0.20+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5；
（Ⅱ）由题意，$\overline{x}$=3，$\overline{y}$=3.8，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=，$\frac{69-5×3×3.8}{55-5×9}$=1.2，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=3.8-1.2×3=0.2，
∴y关于x的回归直线方程y=1.2x+0.2；
（Ⅲ）x=10时，y=12.2，则当宣传费投入为10万元时，销售收益大约为12.2万元．
点评 本题考查回归方程的计算与运用，考查频率分布直方图，属于中档题．
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