Question

在平面直角坐标系中，已知一个双曲线的中心在原点，左焦点为F（-2，0），且过点D(

3

，0)．
（1）求该双曲线的标准方程；
（2）若P是双曲线上的动点，点A（1，0），求线段PA中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设双曲线方程，由题意得c=2，a=

3

，再由a，b，c的关系可得b，进而得到双曲线方程；
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），运用中点坐标公式和双曲线方程，即可得到轨迹方程．

解答： 解：（1）设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
则由题意得c=2，a=

3

，b=

c2-a2

=1．
则双曲线的标准方程为

x2

3

-y2=1；
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），
由

x= x0+1 2 y= y0 2

，得

x0=2x-1 y0=2y

，
因为点P在双曲线上，得

(2x-1)2

3

-(2y)2=1
∴线段PA中点M的轨迹方程是（2x-1）²-12y²=3．

点评：本题考查双曲线方程和性质，考查轨迹方程的求法，考查中点坐标公式，考查运算能力，属于基础题．