Question

9．已知函数f（x）=（x+2）²-1在区间[a，0]上的最大值为3，则在满足条件的实数a中任取一个，使函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-x²-a有3个零点的概率为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 分别求出a的范围，以长度为测度，即可求出概率．

解答 解：∵f（-4）=f（0），函数f（x）=（x+2）²-1在区间[a，0]上的最大值为3，
∴-4≤a＜0，
∵f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-x²-a，∴f′（x）=x²-2x=0，x=0或x=2，
∵函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-x²-a有3个零点，
∴f（0）f（2）＜0，
∴-a×（$\frac{8}{3}$-4-a）＜0
∴a＜-$\frac{4}{3}$或a＞0，
∵-4≤a＜0，
∴-4≤a＜-$\frac{4}{3}$，
∴函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-x²-a有3个零点的概率为$\frac{4-\frac{4}{3}}{4}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了几何概型概率的求解，考查导数知识的运用，属于综合题，难度较大．