已知向量$\vec a$.$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$.且|$\overrightarrow{a}$|=2.|$\overrightarrow{b}$|=1.则向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的夹角为( )A．$\frac{π}{6}$B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

13．已知向量$\vec a$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，则向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

A．

$\frac{π}{6}$

B．

$\frac{π}{3}$

C．

$\frac{π}{4}$

D．

$\frac{π}{2}$

分析利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．

解答解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$2×1×cos\frac{π}{3}$=1．
$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4+2=6．
$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+4×1+4×1}$=2$\sqrt{3}$．
设向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的夹角为θ．
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|}$=$\frac{6}{2×2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$夹角θ的取值范围为[0，π]，
∴$θ=\frac{π}{6}$．
故选：A．

点评本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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