题目内容

已知：a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，则在下列各结论中为a·b＝0的充要条件为
①a＝0或b＝0或a⊥b；
②a⊥b；
③x₁y₁+x₂y₂＝0；
④x₁x₂+y₁y₂＝0．

A.
①③
B.
②③
C.
③④
D.
①④

D

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已知向量a＝(1，1)，b＝(1，0)，c满足a·c＝0且|a|＝|c|，b·c＞0．

(1)求向量c；

(2)若映射f：(x，y)→(x₁，y₁)＝xa＋yc，求映射f下(1，2)的原象．

已知集合A＝{x|x＝，1≤n≤10，n∈N}，B＝{(x，y)|y＝x－5，x∈A}，在集合B中随机取两个点P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，则P、Q两点在同一反比例函数图象上的概率是

A．

B．

C．

D．

已知点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是函数y＝sinx(－π＜x＜0)图象上的两个不同的点，且x₁＜x₂，给出下列不等式：①sinx₁＜sinx₂；②sin＜sin；③(sinx₁＋sinx₂)＞sin；④＞．其中正确不等式的序号是________．

已知f(x)＝(x∈R)，P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)是函数y＝f(x)图象上两点，且线段P₁P₂中点P的横坐标是．

(1)求证：点P的纵坐标是定值；

(2)若数列{a_n}的通项公式是a_n＝f()(m∈N^*，n＝1，2，…m)，求数列{a_n}的前m项和Sm；

(3)在(2)的条件下，若m∈N^*时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)＝alnx－x²＋1.

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；

(2)若a<0，且对任意x₁、x₂∈(0，＋∞)，都|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|，求a的取值范围．

【解析】第一问中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二问中，利用当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x₁≤x₂，则|f(x₁)－f(x₂)|＝f(x₁)－f(x₂)，|x₁－x₂|＝x₂－x₁，

∴|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|等价于f(x₁)－f(x₂)≥x₂－x₁，

即f(x₁)＋x₁≥f(x₂)＋x₂，结合构造函数和导数的知识来解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x₁≤x₂，则|f(x₁)－f(x₂)|＝f(x₁)－f(x₂)，|x₁－x₂|＝x₂－x₁，

∴|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|等价于f(x₁)－f(x₂)≥x₂－x₁，即f(x₁)＋x₁≥f(x₂)＋x₂，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x²＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是减函数，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x²＋x＋a≤0在x>0时恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范围是