Question

1．已知等比数列{a_n}中a₁=1，a₄=8，在a_n与a_n+1两项之间依次插入2^n-1个正整数，得到数列{b_n}，即：a₁，1，a₂，2，3，a₃，4，5，6，7，a₄，8，9，10，11，12，13，14，15，a₅，…则数列{b_n}的前2016项之和S₂₀₁₆=2013062（用数字作答）．

Answer 1

分析 在数列{b_n}中，到a_n项共有=n+（1+2+…+2^n-2）=n+$\frac{1×（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$=2^n-1+n-1项，即为f（n）（n≥2）．则f（11）=2¹⁰+11-1=1034，f（12）=2¹¹+12-1=2059．即可得出．

解答 解：在数列{b_n}中，到a_n项共有n+（1+2+…+2^n-2）=n+$\frac{1×（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$=2^n-1+n-1项，即为f（n）（n≥2）．
则f（11）=2¹⁰+11-1=1034，f（12）=2¹¹+12-1=2059．
设等比数{a_n}的公比为q，由a₁=1，a₄=8，得1×q³=8，解得q=2，
因此S₂₀₁₆=a₁+a₂+…+a₁₀+a₁₁+1+2+3+…+2005=$\frac{1×（{2}^{11}-1）}{2-1}$+$\frac{2005×（1+2005）}{2}$=2013062．
故答案为：2013062．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．