Question

17．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B-AM-C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面ABC的距离．

解答 解：∵正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，
沿AM将△ABM折起，使得二面角B-AM-C的大小为90°，
∴MA、MB、MC三条直线两两垂直，AM=$\sqrt{3}$，BM=CM=1，
以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则M（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），
A（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BM}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{BA}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=-x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
∴点M到平面ABC的距离为：
d=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．