Question

8．如图，已知点F为抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|=3．
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点G（-1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为角AGB的角平分线．

Answer 1

分析 （1）由抛物线定义可得：|AF|=2+$\frac{p}{2}$=3，解得p．即可得出抛物线E的方程．
（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A（2，2$\sqrt{2}$），F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x²-5x+2=0，解得B（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）．又G（-1，0），计算k_GA，k_GB，可得k_GA+k_GB=0，∠AGF=∠BGF，即可证明GF为角AGB的角平分线．

解答 （1）解：由抛物线定义可得：|AF|=2+$\frac{p}{2}$=3，解得p=2．
∴抛物线E的方程为y²=4x；
（2）证明：∵点A（2，m）在抛物线E上，
∴m²=4×2，解得m=±2$\sqrt{2}$，不妨取A（2，2$\sqrt{2}$），F（1，0），
∴直线AF的方程：y=2$\sqrt{2}$（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为2x²-5x+2=0，解得x=2或$\frac{1}{2}$，B（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）．
又G（-1，0），∴k_GA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，k_GB=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴k_GA+k_GB=0，
∴∠AGF=∠BGF，∴x轴平分∠AGB，即GF为角AGB的角平分线．

点评 本小题主要考查抛物线、直线与抛物线的位置关系及其性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．