Question

已知f(x)=2

3

cos

x

2

sin

x

2

+sin2

x

2

-cos2

x

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）=1，2a=3b，求sinC的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，根据正弦函数的单调性，可求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）先求出A，再利用正弦定理，求出sinB，利用sinC=sin（A+B），可求sinC的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2

3

cos

x

2

sin

x

2

+sin2

x

2

-cos2

x

2

=

3

sinx-cosx=2sin(x-

π

6

)…（3分）
∴由-

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ，…（5分）
即函数f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ]（k∈Z）               …（6分）
（Ⅱ）由f（A）=1得sin(A-

π

6

)=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A-

π

6

=

π

6

，即A=

π

3

，…（8分）
根据正弦定理，由2a=3b，得2sinA=3sinB，故sinB=

3

3

，…（9分）
∵a＞b，∴cosB=

6

3

，…（10分）
∵A+B+C=π，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

2

×

6

3

+

1

2

×

3

3

=

3 2 + 3

6

…（12分）

点评：本题考查二倍角、辅助角公式，考查正弦函数的单调性，考查正弦定理，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键．