Question

13．若函数f（x）=x³-3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，则f（x）的单调递减区间为（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-1，1）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，-1）和（1，+∞）

Answer 1

分析 根据函数f（x）=x³-3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，求导f′（x）=0，求得该函数的极值点x₁，x₂，并判断是极大值点x₁，还是极小值点x₂，代入f（x₁）=6，f（x₂）=2，解方程组可求得a，b的值，再由f′（x）＜0即可得到．

解答 解：：令f′（x）=3x²-3a=0，得x=±$\sqrt{a}$，
令f′（x）＞0得x＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$；令f′（x）＜0得-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$．
即x=-$\sqrt{a}$取极大，x=$\sqrt{a}$取极小．
∵函数f（x）=x³-3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，
∴f（$\sqrt{a}$）=2，f（-$\sqrt{a}$）=6，
即a$\sqrt{a}$-3a$\sqrt{a}$+b=2且-a$\sqrt{a}$+3a$\sqrt{a}$+b=6，
得a=1，b=4，
则f′（x）=3x²-3，由f′（x）＜0得-1＜x＜1．
则减区间为（-1，1）．
故选：B．

点评 本题考查函数在某点取得极值的条件，以及函数的单调区间，考查解方程的运算能力，属于中档题．