Question

已知直线方程为（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．
（Ⅰ）若直线不经过第一象限，求m的范围；
（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） （法一）1-2m=0，即m=时，x=1，不过第一象限，故m=.1-2m≠0，即m≠时，y=，由此能求出m的范围．
（法二）（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0化为（x-2y-3）m=-2x-y-4．由得 ，直线必过定点（-1，-2）．由此能求出m的范围．
（Ⅱ）设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），故OA=|-1|，OB=|k-2|，…（8分）S_△AOB=•OA•OB=|（-1）（k-2）|=|-|，由此能求出△AOB面积的最小值和此时直线的方程．
解答：解：（Ⅰ） （法一）①1-2m=0，即m=时，x=1，不过第一象限，∴m=．
②1-2m≠0，即m≠时，
y=，
∴，
∴，
∴-．
（法二）解：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0化为（x-2y-3）m=-2x-y-4．…（3分）
由得 ，
∴直线必过定点（-1，-2）．                  …（6分）
∴1-2m=0或者，
∴-．
（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），
∴OA=|-1|，OB=|k-2|，…（8分）
S_△AOB=•OA•OB=|（-1）（k-2）|=|-|..…（10分）
∵k＜0，∴-k＞0，
∴S_△AOB=[-]=[4+（-）+（-k）]≥4．
当且仅当-=-k，即k=-2时取等号．…（13分）
∴△AOB的面积最小值是4，…（14分）
直线的方程为y+2=-2（x+1），即y+2x+4=0．
点评：本题考查考查实数取值范围的求法，考查三角形面积最小值的求法和直线方程的求法．解题时要认真审题，注意直线方程知识的灵活运用．