题目内容

12．已知边长为2 的菱形ABCD中，∠BAD=120°，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AC}$（0＜λ＜1），则$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{PD}$的取值范围为（　　）
A．[0，3]B．[2，3]C．（0，3]D．（2，3]

分析 利用菱形的各边分别表示$\overrightarrow{BP}$、$\overrightarrow{PD}$，然后利用数量积公式展开得到关于λ二次函数解析式，求范围即可．

解答 解：因为边长为2 的菱形ABCD中，∠BAD=120°，$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AC}$（0＜λ＜1），
则$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{PD}$=$（\overrightarrow{BA}+λ\overrightarrow{AC}）（-λ\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}）$
=$-{λ}^{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}-λ\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}+λ\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AD}$
=-4λ2+4λ+2
=-4（$λ-\frac{1}{2}$）2+3，（0＜λ＜1），
则$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{PD}$的取值范围为（2，3]；
故选D．

点评 本题考查了平面向量的运算以及利用二次函数求最值；属于中档题．

练习册系列答案
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12．已知定义在区间[-3，3]上的函数f（x）=2x+m满足f（2）=6，在[-3，3]上随机取一个实数x，则使得f（x）的值不小于4的概率为（　　）
A．$\frac{5}{6}$B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{1}{3}$D．$\frac{1}{6}$

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