Question

6．已知f（x）=x³+2x²+x+2，过点（-2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{64}{27}$，0）
• B． （-∞，0）
• C． （1，$\frac{64}{27}$）
• D． （-，+∞）

Answer 1

分析 利用导数的几何意义以及导数的应用建立条件关系即可，要注意对点是否在曲线上进行讨论．

解答 解：过点A（2，m）向曲线y=f（x）作切线，
设切点为（x₀，y₀），
则y₀=x₀³+$2{{x}_{0}}^{2}$+x₀+2，k=f′（x₀）=3x₀²+4x₀+1．
则切线方程为y-（x₀³+$2{{x}_{0}}^{2}$+x₀+2）=（3x₀²+4x₀+1）（x-x₀），
将A（-2，m）代入上式，整理得2x₀³+8x₀²+8x₀+m=0．
∵过点A（-2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程2x₀³+8x₀²+8x₀+m=0有三个不同实数根，
记g（x）=2x³+8x²+8x+m，g'（x）=6x²+16x+8=2（3x+2）（x+2），
令g'（x）=0，x=-$\frac{2}{3}$或-2，
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大	递减	极小	递增

当x=-$\frac{2}{3}$，g（x）有极大值m+$\frac{64}{27}$；x=-2，g（x）有极小值m．
由题意有，当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＞0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m+\frac{64}{27}＞0}\\{m＜0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{64}{27}$＜m＜0，函数g（x）有三个不同零点、
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．
∴m的范围是（-$\frac{64}{27}$，0），
故选：A．

点评 本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．综合性较强，运算量较大，是中档题．