Question

6．已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3
（1）对x∈（0，+∞），不等式2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，设h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$（x＞0），则h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{x2}$，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．
（2）问题等价于证明xlnx＞$\frac{x}{ex}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），设m（x）=$\frac{x}{ex}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），则m′（x）=$\frac{1-x}{ex}$，由此利用导数性质求证即可．

解答 解：（1）2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，
设h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$（x＞0），则h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{x2}$，
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴[h（x）]_min=h（1）=4，
∵对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∴a≤[h（x）]_min=4．
证明：（2）问题等价于证明xlnx＞$\frac{x}{ex}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-$\frac{1}{e}$，当且仅当x=$\frac{1}{e}$时取得．
设m（x）=$\frac{x}{ex}$-$\frac{2}{e}$（x∈（0，+∞）），则m′（x）=$\frac{1-x}{ex}$，
由题意得[m（x）]_max=m（1）=-$\frac{1}{e}$，
当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞$\frac{1}{ex}$-$\frac{2}{ex}$成立．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．