Question

17．已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2x}{1-2x}，x≠\frac{1}{2}}\\{-1，x=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线x=$\frac{1}{2}$上，且$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$．
（1）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值；
（2）已知S₁=0，当n≥2时，S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{3}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），求S_n．

Answer 1

分析 （1）点M在直线x=$\frac{1}{2}$上，设M$（\frac{1}{2}，{y}_{M}）$．又$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，利用坐标运算x₁+x₂=1．①当x₁=$\frac{1}{2}$时，x₂=$\frac{1}{2}$，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）；②当x₁≠$\frac{1}{2}$时，x₂≠$\frac{1}{2}$．y₁+y₂=$\frac{2{x}_{1}}{1-2{x}_{1}}$+$\frac{2{x}_{2}}{1-2{x}_{2}}$化简即可得出．
（2）由（1）知，当x₁+x₂=1．y₁+y₂=-2．可得$f（\frac{k}{n}）$+$f（\frac{n-k}{n}）$=-2，k=1，2，3，…，n-1．即可得出．

解答 解：（1）∵点M在直线x=$\frac{1}{2}$上，设M$（\frac{1}{2}，{y}_{M}）$．
又$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，即$\overrightarrow{AM}$=$（\frac{1}{2}-{x}_{1}，{y}_{M-}{y}_{1}）$，$\overrightarrow{MB}$=$（{x}_{2}-\frac{1}{2}，{y}_{2}-{y}_{M}）$，
∴x₁+x₂=1．
①当x₁=$\frac{1}{2}$时，x₂=$\frac{1}{2}$，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=-1-1=-2；
②当x₁≠$\frac{1}{2}$时，x₂≠$\frac{1}{2}$．
y₁+y₂=$\frac{2{x}_{1}}{1-2{x}_{1}}$+$\frac{2{x}_{2}}{1-2{x}_{2}}$=$\frac{2{x}_{1}（1-2{x}_{2}）+2{x}_{2}（1-2{x}_{1}）}{（1-2{x}_{1}）（1-2{x}_{2}）}$=$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）-8{x}_{1}{x}_{2}}{1-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2（1-4{x}_{1}{x}_{2}）}{4{x}_{1}{x}_{2}-1}$=-2．
综合①②得，y₁+y₂=-2．
（2）由（1）知，当x₁+x₂=1．y₁+y₂=-2．
∴$f（\frac{k}{n}）$+$f（\frac{n-k}{n}）$=-2，k=1，2，3，…，n-1．）
n≥2时，S_n=f$（\frac{1}{n}）$+f$（\frac{2}{n}）$+…+f$（\frac{n-1}{n}）$，①
∴S_n=$f（\frac{n-1}{n}）$+$f（\frac{n-2}{n}）$+…+$f（\frac{1}{n}）$，②
①+②得，2S_n=-2（n-1），则S_n=1-n．
当n=1时，S₁=0满足S_n=1-n．
∴S_n=1-n．

点评 本题考查了函数的性质、向量坐标运算、数列的求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．