Question

15．已知函数f（x）=$\frac{4x}{2+x}$，数列{a_n}满足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$}是等比数列；
（2）不等式$\frac{2}{{a}_{1}}$+$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$≥t+$\frac{n}{2}$，n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得可得a₁=$\frac{4}{3}$，a_n+1=$\frac{4{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，取倒数减去$\frac{1}{2}$，结合等比数列的定义，即可得证；
（2）求得$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=2^n-1+$\frac{1}{2}$，运用等比数列的求和公式，化简可得t≤2ⁿ-1恒成立，求得右边数列的最小值，即可得到t的范围．

解答 解：（1）证明：由函数f（x）=$\frac{4x}{2+x}$，数列{a_n}满足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n），
可得a₁=$\frac{4}{3}$，a_n+1=$\frac{4{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，
$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{2+{a}_{n}}{4{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$），
则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$}是首项为$\frac{1}{4}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列；
（2）由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
即有$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=2^n-1+$\frac{1}{2}$，
不等式$\frac{2}{{a}_{1}}$+$\frac{{2}^{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$≥t+$\frac{n}{2}$，即为
（1+2+…+2^n-1）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2}$）≥t+$\frac{n}{2}$，
即有$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{n}{2}$≥t+$\frac{n}{2}$，
即为t≤2ⁿ-1恒成立，
由2ⁿ-1递增，可得2ⁿ-1的最小值为1，
则实数t的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意运用构造数列法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想和数列的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．