Question

10．设O是正n边形A₁A₂…A_n的中心，求证：$\overrightarrow{O{A}_{1}}$+$\overrightarrow{O{A}_{2}}$+…+$\overrightarrow{O{A}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 记$\overrightarrow{S}$=$\overrightarrow{O{A}_{1}}+\overrightarrow{O{A}_{2}}+…+\overrightarrow{O{A}_{n}}$，若$\overrightarrow{S}≠\overrightarrow{0}$，则将正n边形绕中心O旋转$\frac{2π}{n}$后与原正n边形重合，这不可能发生，由此能证明$\overrightarrow{O{A}_{1}}$+$\overrightarrow{O{A}_{2}}$+…+$\overrightarrow{O{A}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$．

解答 证明：记$\overrightarrow{S}$=$\overrightarrow{O{A}_{1}}+\overrightarrow{O{A}_{2}}+…+\overrightarrow{O{A}_{n}}$，
若$\overrightarrow{S}≠\overrightarrow{0}$，则将正n边形绕中心O旋转$\frac{2π}{n}$后与原正n边形重合，
∴$\overrightarrow{S}$不变，
这不可能发生，
∴$\overrightarrow{S}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{O{A}_{1}}$+$\overrightarrow{O{A}_{2}}$+…+$\overrightarrow{O{A}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$．

点评 本题考查以正n边形的中心为起点，以正n边形的端点为终点的向量的和为$\overrightarrow{0}$的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意向量加法定理、正n边形性质的合理运用．