Question

设定义在区间[x₁，x₂]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向
量

OA

=（x₁，f（x₁）），

OB

=(x2，  f(x2))，

OM

=（x，y），当实数λ满足x=λ x₁+（1-λ） x₂时，记向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

．定义“函数y=f（x）在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指“|

MN

|≤k恒成立”，其中k是一个确定的正数．
（1）设函数 f（x）=x²在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；
（2）求证：函数g（x）=lnx在区间[e^m，e^m+1]（m∈R）上可在标准k=

1

8

下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

Answer 1

（1）由

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

得到

BN

=λ

BA

，
所以B，N，A三点共线，（2分）
又由x=λx₁+（1-λ）x₂与向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，得N与M的横坐标相同．（4分）
对于[0，1]上的函数y=x²，A（0，0），B（1，1），
则有|

MN

|=x-x2=-(x-

1

2

)2+

1

4

，故|

MN

|∈[0，  

1

4

]；
所以k的取值范围是[

1

4

，+∞)．（6分）
（2）对于[e^m，e^m+1]上的函数y=lnx，
A（e^m，m），B（e^m+1，m+1），（8分）
则直线AB的方程y-m=

1

em+1-em

(x-em)，（10分）
令h(x)=lnx-m-

1

em+1-em

(x-em)，其中x∈[e^m，e^m+1]（m∈R），
于是h′(x)=

1

x

-

1

em+1-em

，（13分）
列表如下：

x	em	（em，em+1-em）	em+1-em	（em+1-em，em+1）	em+1
h'（x）		+	0	-
h（x）	0	增	h（em+1-em）	减	0

则|

MN

|=h（x），且在x=e^m+1-e^m处取得最大值，
又h(em+1-em)=ln(e-1)-

e-2

e-1

≈0.123＜

1

8

，从而命题成立．（16分）