Question

18．已知关于x的实系数方程x²+2ax+b=0在区间（0，1）和（1，2）内各有一根，求：
（1）a²+b²的取值范围；
（2）求|a+b-2|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程根的分布与系数的关系求出点（a，b）表示的区域，a²+b²表示点（a，b）到原点的距离的平方，求得它的范围．
（2）根据$\frac{|a+b-2|}{{\sqrt{2}}}$表示点（a，b）到直线a+b-2=0的距离，求得可行域内的点到直线a+b-2=0的距离的最大、最小值，可得$\frac{3}{{2\sqrt{2}}}＜\frac{|a+b-2|}{{\sqrt{2}}}＜\frac{3}{{\sqrt{2}}}$，
从而求得|a+b-2|的取值范围．

解答 解：设f（x）=x²+2ax+b，则有$\left\{\begin{array}{l}f（0）＞0\\ f（1）＜0\\ f（2）＞0\end{array}\right.?\left\{\begin{array}{l}b＞0\\ 2a+b+1＜0\\ 4a+b+4＞0\end{array}\right.$，
点（a，b）表示的区域为如图阴影部分，点A的坐标为（-$\frac{3}{2}$，2）．
（1）a²+b²表示点（a，b）到原点的距离的平方，
∵$\frac{1}{2}＜\sqrt{{a^2}+{b^2}}＜\frac{5}{2}$，∴$\frac{1}{4}＜{a^2}+{b^2}＜\frac{25}{4}$．
（2）$\frac{|a+b-2|}{{\sqrt{2}}}$表示点（a，b）到直线a+b-2=0的距离，
点A到直线a+b-2=0的距离最小为$\frac{|-\frac{3}{2}+2-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{2\sqrt{2}}$，
点（-1，0）到直线a+b-2=0的距离最大为$\frac{|-1+0-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
故有 $\frac{3}{{2\sqrt{2}}}＜\frac{|a+b-2|}{{\sqrt{2}}}＜\frac{3}{{\sqrt{2}}}$，∴$\frac{3}{2}＜|a+b-2|＜3$．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，简单的线性规划问题，属于中档题．