Question

1．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，$0＜φ＜\frac{π}{2}$）的周期为π，且图象上一个最低点为$M（{\frac{2π}{3}\;，\;\;-2}）$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当$x∈[{0\;，\;\;\frac{π}{12}}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的周期，最值过定点，求出A，ω和φ的值即可，
（Ⅱ）结合三角函数的单调性进行求解即可．
（Ⅲ）求出角的范围结合三角函数的单调性求出函数的最值即可求出函数的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函数的最小正周期为π，最小值为-2，
∴A=2，T=$\frac{2π}{ω}=π$，即ω=2，
则函数f（x）=2sin（2x+φ），
∵图象上一个最低点为$M（{\frac{2π}{3}\;，\;\;-2}）$．
∴2sin（2×$\frac{2π}{3}$+φ）=-2，
即sin（$\frac{4π}{3}$+φ）=-1，
则$\frac{4π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
则φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∵$0＜φ＜\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，φ=$\frac{π}{6}$，
即f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即函数的单调递减区间为为$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]（k∈Z）$．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（Ⅲ）当$x∈[{0\;，\;\;\frac{π}{12}}]$时，2x∈[0，$\frac{π}{6}$]，
则2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
则sin（2x+$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则$\frac{1}{2}×2$≤f（x）≤2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即1≤f（x）≤$\sqrt{3}$，
即f（x）的值域为[1，$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及函数单调性和值域的求解，结合条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．