Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点A作直线m，与圆O相交于两点R，S，若△ORS是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得圆O的方程，运用直线和相切的条件：d=r，求得b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；
（2）先设出点R，S的坐标，利用△ORS是钝角三角形，求得$\overrightarrow{QR}•\overrightarrow{QS}$=x₁x₂+y₁y₂＜0，从而求出斜率k的取值范围

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又圆O的方程为x²+y²=b²，
因为直线l：x-y+2=0与圆O相切，
b=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{1}+（-1）^{2}}}=\sqrt{2}$，由a²=3c²=3（a²-b²），即a²=3．
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）由（1）得知圆的方程为x²+y²=2．A（-$\sqrt{3}$，0），直线m 的方程为：y=k（x+$\sqrt{3}$）．
设R（x1，y1），S（x2，y2），由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{y=k（x+\sqrt{3}）}\end{array}\right.$
得 $（1+{k}^{2}）{x}^{2}+2\sqrt{3}{k}^{2}x+3{k}^{2}-2=0$
${x}_{1}{+x}_{2}=\frac{-2\sqrt{3}{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{k}^{2\\;}-2}{1+{k}^{2}}$，
由△=12k⁴-4（1+k²）（3k²-2）＞0的-$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$…①
因为△ORS是钝角三角形，∴$\overrightarrow{QR}•\overrightarrow{QS}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=${x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}（{x}_{1}+\sqrt{3}）（{x}_{2}+\sqrt{3}）$=$\frac{4{k}^{2}-2}{1+{k}^{2}}＜0$．
$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$…②
由A、R、S三点不共线，知k≠0．                              ③
由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解，向量的夹角与数量积的关系，属于难题．