Question

19．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（3a-1）x+4a，x＜1\\ \begin{array}{l}{{a^x}-a}，{x≥1}\end{array}\end{array}\right.$是R上的减函数，则a的范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． $（0，\frac{1}{3}）$
• C． $[\frac{1}{7}，\frac{1}{3}）$
• D． $[\frac{1}{7}，1）$

Answer 1

分析 根据题意，由函数的单调性的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{（3a-1）+4a≥a-a}\end{array}\right.$，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（3a-1）x+4a，x＜1\\ \begin{array}{l}{{a^x}-a}，{x≥1}\end{array}\end{array}\right.$是R上的减函数，
则有$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{（3a-1）+4a≥a-a}\end{array}\right.$，
解可得$\frac{1}{7}$≤a＜$\frac{1}{3}$，即a的取值范围为[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）；
故选：C．

点评 本题考查函数单调性的应用，涉及分段函数的应用，关键是熟悉常见函数的单调性．