Question

8．已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|1≤x≤6}，C={x|m+1≤x≤2m}
（Ⅰ）求A∩B，（∁_RA）∪B；
（Ⅱ）若B∪C=B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件和交集的运算求出A∩B，由补集的运算求出∁_RA，由并集的运算求出（∁_RA）∪B；
（Ⅱ）由并集的运算将B∪C=B转化为C⊆B，根据条件和子集的定义分类讨论，分别列出不等式（组），求出m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|1≤x≤6}，
∴A∩B={x|3≤x≤6}，且∁_RA={x|-1＜x＜3}，
∴（∁_RA）∪B={x|-1＜x≤6}；         …（6分）
（Ⅱ）∵B∪C=B，∴C⊆B，
即C={x|m+1≤x≤2m}⊆{x|1≤x≤6}，
①当C=∅时，有m+1＞2m，解得m＜1，
②当C≠∅时，有$\left\{\begin{array}{l}{m+1≤2m}\\{m+1≥1}\\{2m≤6}\end{array}\right.$，解得1≤m≤3，
综上所述：m的取值范围是（-∞，1）∪[1，3]，即（-∞，3]．…（12分）

点评 本题考查交、并、补集的混合运算，以及集合之间的关系的应用，考查分类讨论思想、转化思想，注意空集是任何集合的子集．