Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{3}{2}$，2S_n=（n+1）a_n+1（n≥2）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}+1）^{2}}$（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜$\frac{7}{10}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （I）先计算a₂，当n≥3，利用2a_n=2S_n-2S_n-1得出递推公式，使用累乘法求出a_n；
（II）使用列项法求出T_n，即可得出结论．

解答 解：（I）当n=2时，2（a₁+a₂）=3a₂+1，解得a₂=2．
当n≥3时，2a_n=2S_n-2S_n-1=（n+1）a_n-na_n-1，
∴（n-1）a_n=na_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$=$\frac{n-2}{n-3}$，…$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，
将以上各式相乘得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$=$\frac{n}{2}$，
∴a_n=n．
显然，n=1时，上式不成立，当n=2时，上式成立．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{n，n≥2}\end{array}\right.$．
（II）b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}+1）^{2}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{25}，n=1}\\{\frac{1}{（n+1）^{2}}，n≥2}\end{array}\right.$
当n≥2时，b_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$\frac{4}{25}$+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=$\frac{4}{25}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{33}{50}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{33}{50}$＜$\frac{7}{10}$．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法，列项法数列求和，属于中档题．