Question

6．已知数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n
（1）求a_n；
（2）设a_n=2λ-1，试求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n，得a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=n-1，两式作差可求数列{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入a_n=2λ-1，得$λ=\frac{{a}_{n}+1}{2}=\frac{\frac{1}{{3}^{n-1}}+1}{2}$，由指数函数的值域求得λ的取值范围．

解答 解：（1）由a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n，
得a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=n-1，
两式作差得：3^n-1a_n=n-n+1=1，
∴${a}_{n}=\frac{1}{{3}^{n-1}}$；
（2）由a_n=2λ-1，得$λ=\frac{{a}_{n}+1}{2}=\frac{\frac{1}{{3}^{n-1}}+1}{2}$，
∵3^n-1＞1，∴0＜$\frac{1}{{3}^{n-1}}＜1$，
则1$＜\frac{1}{{3}^{n-1}}+1＜2$，即$\frac{1}{2}＜\frac{\frac{1}{{3}^{n-1}}+1}{2}＜1$．
∴λ的取值范围是$（\frac{1}{2}，1）$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了作差法求数列的通项公式，考查了数列的函数特性，是中档题．