Question

9．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{|x-1|}}\;\;，\;x＞0\\-{x^2}-2x+1\;，x≤0\end{array}\right.$，若关于x的方程f²（x）-3f（x）+a=0（a∈R）有8个不等的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{4}）$
• B． $（\frac{1}{3}，3）$
• C． （1，2）
• D． $（2，\frac{9}{4}）$

Answer 1

分析 画出函数的图象，利用函数的图象，判断f（x）的范围，然后利用二次函数的性质求解a的范围．

解答 解：函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{|x-1|}}\;\;，\;x＞0\\-{x^2}-2x+1\;，x≤0\end{array}\right.$，的图象如图：
关于x的方程f²（x）-3f（x）+a=0（a∈R）有8个不等的实数根，f（x）必须有两个不相等的实数根，由函数f（x）图象
可知f（x）∈（1，2）．令t=f（x），
方程f²（x）-3f（x）+a=0化为：a=-t²+3t，t∈（1，2），
a=-t²+3t，开口向下，对称轴为：t=$\frac{3}{2}$，
可知：a的最大值为：-（$\frac{3}{2}$）²+3×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$，
a的最小值为：2．
a∈（2，$\frac{9}{4}$]．
故选：D．

点评 本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力．