Question

3．如图，已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}$=4$\overrightarrow{OP}$，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{13}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{39}}}{9}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则，OP=$\frac{2}{3}$R，利用勾股定理，结合余弦定理和离心率公式，计算即可得出结论．

解答 解：因为∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}$=4$\overrightarrow{OP}$，
所以△QAP为等边三角形，
设AQ=2R，则PQ=2R，OP=$\frac{2}{3}$R，
渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，A（a，0），
取PQ的中点M，则AM=$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
由勾股定理可得（2R）²-R²=（$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$）²，
所以（ab）²=3R²（a²+b²）①，
在△OQA中，$\frac{\frac{64}{9}{R}^{2}+4{R}^{2}-{a}^{2}}{2•\frac{8}{3}R•2R}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{52}{9}$R²=a²②
①②结合c²=a²+b²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{13}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查离心率的计算，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．