Question

4．过抛物线C：y²=4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M（-1，2），若$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，则直线l的斜率k=1．

Answer 1

分析 求得直线l方程，代入抛物线的方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得k的值．

解答 解：∵抛物线的方程为y²=4x，∴F（1，0），
设焦点弦方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韦达定理：x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
则y₁y₂=-4，y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，
∵M（-1，2），$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，
即（x₁+1，y₁-2）•（x₂+1，y₂-2）=0，
∴1-2k+k²=0，
∴k=1．
故答案为：1．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．