Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=2a_n+1，则a_n=（　　）

• A． 2^n-1
• B． （$\frac{3}{2}$）^n-1
• C． （$\frac{2}{3}$）^n-1
• D． $\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2}{•（\frac{3}{2}）}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$

Answer 1

分析 根据数列{a_n}的前n项和与等比数列的定义，得出a_n+1与a_n的关系，从而求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：数列{a_n}的前n项和为S_n，
a₁=1，S_n=2a_n+1，
∴S_n-1=2a_n，n≥2，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n+1-2a_n，n≥2
即a_n+1=$\frac{3}{2}$a_n，n≥2
∴从第2项起，数列{a_n}是以公比q=$\frac{3}{2}$的等比数列，
且a₂=$\frac{1}{2}$S₁=$\frac{1}{2}$a₁=$\frac{1}{2}$；
∴n≥2时，a_n=$\frac{1}{2}$•${（\frac{3}{2}）}^{n-2}$；
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2}{•（\frac{3}{2}）}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
故选：D．

点评 本题考查了数列{a_n}的前n项和与等比数列的定义、通项公式的应用问题，是综合性题目．