Question

1．已知命题p：直线x-y+a=0与圆x²+y²-2x=1相交； 命题q：曲线y=e^x-ax（e 为自然对数的底数）在任意一点处的切线斜率均大于1．若命题p∧（￢q）是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 如果命题命题p∧（￢q）是真命题，则命题p真，q假，分别求出相应的实数a的取值范围，进而可得答案．

解答 解：若p为真，则
圆x²+y²-2x=1的圆心（1，0）到直线x-y+a=0的距离d＜r=$\sqrt{2}$，
即$\frac{|1+a|}{\sqrt{2}}＜\sqrt{2}$，
解得：-3＜a＜1；
若q为真，则y′=e^x-a＞1恒成立，
即a＜e^x-1恒成立，
由e^x-1＞-1，可得：a≤-1，
∵命题p∧（￢q）是真命题，
∴p真q假，
所以a∈（-1，1）．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，指数函数的图象和性质，方程根的个数判断等知识点，难度中档．