Question

17．设函数f（x）=-x³+mx²-m（m＞0）．
（1）当m=1时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）设g（x）=|f（x）|，求函数g（x）在区间[0，m]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调性的性质，利用导数与函数单调性的关系列出不等式求解即可；
（2）先判断函数f（x）的单调性，求出函数f（x）最大值和最小值，再分类讨论，即可求出函数g（x）在区间[0，m]上的最大值．

解答 解：（1）m=1时，f（x）=-x³+x²-1，
f′（x）=-x（3x-2），令f′（x）＜0，
解得：x＞$\frac{2}{3}$或x＜0，
∴f（x）在（-∞，0），（$\frac{2}{3}$，+∞）递减；
（2）由（1）知，f′（x）=-3x²+2mx=-x（x-$\frac{2}{3}$m），
当m＞0时，函数f（x）在（0，$\frac{2}{3}$m）上单调增，在（$\frac{2}{3}$m，m）上单调递减，
∵f（0）=-m＜0，f（m）=-m³+m³-m=-m＜0，
∴f（x）_min=-m，
f（x）_max=-（$\frac{2}{3}$m）³+m×（$\frac{2}{3}$m）²-m=$\frac{4}{27}$m³-m，
当$\frac{4}{27}$m³-m＜0时，即0＜m＜$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴g（x）=|f（x）|，函数g（x）在区间[0，m]上的最大值为m，
当$\frac{4}{27}$m³-m≥0时，即m≥$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
若m≥$\frac{4}{27}$m³-m，即$\frac{3\sqrt{3}}{2}$≤m≤$\frac{3\sqrt{6}}{2}$时，
∴g（x）=|f（x）|，函数g（x）在区间[0，m]上的最大值为m，
若m＜$\frac{4}{27}$m³-m，即m≥$\frac{3\sqrt{6}}{2}$时，
∴g（x）=|f（x）|，函数g（x）在区间[0，m]上的最大值为$\frac{4}{27}$m³-m，
综上所述：当0＜m≤$\frac{3\sqrt{6}}{2}$时，函数g（x）在区间[0，m]上的最大值为m，
当m≥$\frac{3\sqrt{6}}{2}$时，函数g（x）在区间[0，m]上的最大值为$\frac{4}{27}$m³-m．

点评 本题考查学生对函数单调性性质应用，及利用导数求函数的单调区间的方法，函数的最值问题，解题中注意分类讨论思想的运用，属于中档题．