Question

已知向量．
（1）将函数f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，继而将所得图象上的各点向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可求f（x）=2-sin²x-=sinx，根据函数的图象变换法则可求g（x）==，令，k∈Z可求g（x）的单调递增区间
（2）由已知可得sinC=2sinA，结合正弦定理可得，c=2a=2，由余弦定理可求cosA=，进而可求cos2A=2cos²A-1，利用sin2A=可求sin2A，然后由两角和的余弦公式可求
解答：解：（1）∵，
∴=
∴f（x）=2-sin²x-
=2-sin²x-cos²x-1+sinx=sinx（2分）
由题意，g（x）==（4分）
令，k∈Z
解得，，k∈Z
∴g（x）的单调递增区间，k∈Z
（2）由f（x）=sinx及f（C）=2f（A）可得sinC=2sinA
由正弦定理可得，c=2a=2（7分）
由余弦定理可得，cosA===（8分）
于是cos2A=2cos²A-1=（9分）
由a＜c知A＜C，从而，0＜2A＜π，所以sin2A＞0
所以sin2A==（10分）
所以cos（2A+）=
==（12分）
点评：本题是基础题，考查向量的数量积，三角函数的单调增区间的求法，二倍角公式及同角平方关系及两角和的余弦公式的综合应用，是常考题型