Question

17．已知关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为-$\frac{1}{2}$＜x＜1，求下列关于x不等式约解集：
（1）cx²+bx+a＜0；
（2）ax²-bx+c＜0；
（3）cx²-bx+a＜0．

Answer 1

分析 根据一元二次不等式与对应的一元二次方程之间的关系，结合根与系数的关系，求出本题的答案来

解答 解：∵关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为-$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴a＜0，-$\frac{1}{2}$+1=-$\frac{b}{a}$，-$\frac{1}{2}$×1=$\frac{c}{a}$，
即b=-$\frac{1}{2}$a，c=-$\frac{1}{2}$a，
（1）cx²+bx+a＜0，即为-$\frac{1}{2}$ax²-$\frac{1}{2}$ax+a＜0，即x²+x-2＜0，即（x+2）（x-1）＜0，解得-2＜x＜1，故不等式的解集为（-2，1），
（2）ax²-bx+c＜0；即为ax²+$\frac{1}{2}$ax-$\frac{1}{2}$a＜0，即2x²+x-1＞0，即（2x-1）（x+1）＞0，解得x＜-1或x＞$\frac{1}{2}$，故不等式的解集为（-∞，-1）∪（$\frac{1}{2}$，+∞），
（3）cx²-bx+a＜0．即为-$\frac{1}{2}$ax²+$\frac{1}{2}$ax+a＜0，即x²-x-2＜0，即（x-2）（x+1）＜0，解得-1＜x＜2，故不等式的解集为（-1，2）．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．