Question

设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．
（1）曲线y=sinx的“上夹线”方程为

 

（2）曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的定义域和值域,函数与方程的综合运用

专题：导数的综合应用,推理和证明

分析：（1）根据y=sinx≤1即夹线的定义推断曲线y=sinx的“上夹线”方程为y=1并加以检验．
（2）先推测出y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为y=mx+n，利用导函数和错差法分别对直线y=mx+n与y=mx-nsinx相切，且至少有两个切点和g（x）≥F（x）进行检验．

解答： 解：（1）∵y=sinx≤1，
要使直线l与曲线S相切且至少有两个切点且对任意x∈R都有g（x）≥F（x），则需要g（x）=1，
故曲线y=sinx的“上夹线”方程为y=1．
（2）推测y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为y=mx+n，
①先检验直线y=mx+n与y=mx-nsinx相切，且至少有两个切点．
设F（x）=mx-nsinx，则F′（x）=m-ncosx，
令F′（x）=m，得x=2kπ±

π

2

，（k∈Z），
当x=2kπ-

π

2

时，F（2kπ-

π

2

）=m（2kπ-

π

2

）+n，
故过曲线F（x）上的点（2kπ-

π

2

，m（2kπ-

π

2

）+n）的切线方程为y-[m（2kπ-

π

2

）+n]=m[x-（2kπ-

π

2

）]，化简得：y=mx+n，
即直线y=mx+n与曲线y=mx-nsinx相切且有无数个切点．
不妨设g（x）=mx+n，
∵g（x）-F（x）=n（1+sinx）≥0（n＞0），
∴g（x）≥F（x）
∴直线y=mx+n是曲线y=mx-nsinx的“上夹线”．
故答案为：y=1，y=mx+n

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用．考查了学生推理和分析的能力．