Question

求f（x）=

1-x2

x+3

的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：令x=cosθ（0≤θ≤π）换元，转化为y=

sinθ

cosθ+3

后由其几何意义求得值域．

解答： 解：由1-x²≥0，的-1≤x≤1．
令x=cosθ（0≤θ≤π），
则f（x）=y=

1-x2

x+3

=

1-cos2θ

cosθ+3

=

sinθ

cosθ+3

，
其几何意义为半圆x²+y²=1（y≥0）上的动点与定点（-3，0）连线的斜率的范围．
则其最小值为0，
设过（-3，0）的圆x²+y²=1的切线方程为y=k（x+3），即kx-y+3k=0．
由

|3k|

k2+1

=1，解得k=

2

4

或k=-

2

4

（舍）．
∴f（x）=

1-x2

x+3

的值域为[0，

2

4

]．

点评：本题考查了函数值域的求法，考查了还原法，关键是对数学转化思想方法的运用，是中档题．