Question

11．如图，在xOy平面上，点A，B在单位圆上，已知A（1，0），∠AOB=θ（0＜θ＜π）
（Ⅰ）若点B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求$\frac{sin（π+θ）+cos（\frac{3π}{2}-θ）}{cos（\frac{π}{2}+θ）tan（π-θ）}$的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\frac{18}{13}$，求tanθ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角函数的诱导公式以及三角函数的定义进行化简求解即可；
（Ⅱ）根据向量数量积的定义结合向量数量积和三角函数的关系进行转化求解．

解答 解：（Ⅰ）$\frac{{sin（π+θ）+cos（\frac{3π}{2}-θ）}}{{cos（\frac{π}{2}+θ）tan（π-θ）}}=\frac{-sinθ-sinθ}{-sinθ（-tanθ）}=\frac{-2sinθ}{sinθtanθ}=-\frac{2}{tanθ}$-------（3分）
因为$B（-\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$，
所以$tanθ=\frac{y}{x}=-\frac{4}{3}$，
所以原式=$-\frac{2}{tanθ}=\frac{3}{2}$----------------------（6分）
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{OA}=（1，0），\overrightarrow{OB}=（cosθ，sinθ）$，∴$\overrightarrow{OC}=（1+cosθ，sinθ）$，--------------（8分）
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=cosθ（1+cosθ）+{sin^2}θ=cosθ+{cos^2}θ+{sin^2}θ=\frac{18}{13}$，
∴$cosθ=\frac{5}{13}$，----------------------（10分）
∵0＜θ＜π，
∴$sinθ=\frac{12}{13}$，
∴$tanθ=\frac{12}{5}$．----------------------（12分）

点评 本题主要考查平面向量数量积的运算以及向量和三角函数的综合，根据相应的公式进行转化是解决本题的关键．