Question

直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y²＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．

(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；

(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．

Answer 1

(1)因为四边形OABC为菱形，

所以AC与OB相互垂直平分．

所以可设A(t，)，代入椭圆方程得＋＝1，

即t＝±.

所以|AC|＝2.

(2)假设四边形OABC为菱形．

因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.

由消y并整理得

(1＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－4＝0.

设A(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，则

所以AC的中点为M．

因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，

所以直线OB的斜率为－.

因为k·(－)≠－1，所以AC与OB不垂直．

所以OABC不是菱形，与假设矛盾．

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．