Question

3．已知函数y=a^2-x+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，点A在直线mx+ny=1（mn＞0）上，求$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 由于函数y=a^2-x+1（a＞0，a≠1）图象恒过定点A（2，2），又点A在直线mx+ny=1上（mn＞0），可得2m+2n=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答 解：x=2时y=2，所以定点A（2，2）（ 3分）
A在直线上，所以2m+2n=1，且mn＞0，（6分）
所以$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$（\frac{1}{m}+\frac{1}{n}）（2m+2n）=2+2+\frac{2m}{n}+\frac{2n}{m}≥4+2\sqrt{4}=8$，
即$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为8                            （10分）

点评 本题考查了指数函数的性质、“乘1法”和基本不等式的性质，属于中档题．