Question

2．曲线f（x）=e^x在点（1，f（1））处的切线与该曲线及y轴围成的封闭图形的面积为（　　）

• A． $\frac{e}{2}$
• B． e
• C． e-1
• D． $\frac{e}{2}$-1

Answer 1

分析 先根据导数的几何意义求出曲线y=e^x在x=1处的切线方程，再求出积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可．

解答 解：y′|_x=1=e^x|_x=1=e，切点坐标为（1，e）
∴曲线y=e^x在x=1处的切线方程为y=ex
∴曲线f（x）=e^x在点（1，f（1））处的切线与该曲线及y轴围成的封闭图形的面积为
S=∫₀¹（e^x-ex）dx=（e^x-$\frac{e}{2}{x}^{2}$）|₀¹=$\frac{e}{2}$-1．
故选D．

点评 本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了利用定积分求图形面积的能力．应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的，属于基础题．