Question

19．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}x+1，\;x≤1\\ lnx，x＞1\end{array}\right.$，
①方程f（x）=-x有1个根；
②若方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是$[\frac{1}{4}，\frac{1}{e}）$．

Answer 1

分析 ①画出函数的图形，即可得到解的个数；
②由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．

解答 解：①函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}x+1，\;x≤1\\ lnx，x＞1\end{array}\right.$，
与y=-x的图象如图：
可知方程f（x）=-x有1个根．
②函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}x+1，\;x≤1\\ lnx，x＞1\end{array}\right.$，
∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，
∴y=f（x）与y=ax有2个交点，
又∵a表示直线y=ax的斜率，
∴y′=$\frac{1}{x}$，
设切点为（x₀，y₀），k=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴切线方程为y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
而切线过原点，∴y₀=1，x₀=e，k=$\frac{1}{e}$，
∴直线l₁的斜率为$\frac{1}{e}$，
又∵直线l₂与y=$\frac{1}{4}$x+1平行，
∴直线l₂的斜率为$\frac{1}{4}$，
∴实数a的取值范围是[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{e}$）
故答案为：①1，②$[\frac{1}{4}，\frac{1}{e}）$．

点评 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，函数的导数的应用，考查函数与方程的关系，是易错题．