Question

3．禽流感是家禽养殖业的最大威胁，为检验某种药物预防禽流感的效果，取80只家禽进行对比试验，得到如表丢失数据的列联表：（表中c，d，M，N表示丢失的数据）

	患病	未患病	总计
未服用药	25	15	40
服用药	c	d	40
总计	M	N	80

设从试验未服用药的家禽中任取两只，取到未患病家禽数为X；从试验中服用药物的家禽中任取两只，取到未患病家禽数为Y，工作人员曾计算过：X=2的概率是Y＜1的概率的$\frac{7}{3}$倍．
（1）求出列联表中数据c，d，M，N的值；
（2）能否在犯错概率不超过0.005的前提下认为该药物预防禽流感有效？
（3）求X与Y的期望并比较大小，请解释所得结论的实际意义．
下面的临界值表供参考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根据X=2的概率是Y＜1的概率的$\frac{7}{3}$倍，列联表中的数据，求出列联表中数据c，d，M，N的值；
（2）求出K²，与临界值比较，即可得出能在犯错概率不超过0.005的前提下认为该药物预防禽流感有效；
（3）根据独立性检验的知识进行检验．

解答 解：（1）∵X=2的概率是Y＜1的概率的$\frac{7}{3}$倍，
∴$\frac{{C}_{15}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{7}{3}×\frac{{C}_{c}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$
∴c=10，d=30
∴M=35，N=45；
（2）K²=$\frac{80×（25×30-10×15）^{2}}{35×45×40×40}$≈11.42＞7.879，
∴能在犯错概率不超过0.005的前提下认为该药物预防禽流感有效？
（3）X，Y取值为0，1，2．则依题有：
P（X=0）=$\frac{{C}_{25}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{5}{13}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{25}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{25}{52}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{15}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{7}{52}$

X	0	1	2
P	$\frac{5}{13}$	$\frac{25}{52}$	$\frac{7}{52}$

从而EX=0×$\frac{5}{13}$+1×$\frac{25}{52}$+2×$\frac{7}{52}$=$\frac{39}{52}$
P（Y=0）=$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{3}{52}$，P（Y=1）=$\frac{{C}_{10}^{1}{C}_{30}^{1}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{5}{13}$，P（Y=2）=$\frac{{C}_{30}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{29}{52}$，

Y	0	1	2
P	$\frac{3}{52}$	$\frac{5}{13}$	$\frac{29}{52}$

从而EY=0×$\frac{3}{52}$+1×$\frac{5}{13}$+2×$\frac{29}{52}$=$\frac{39}{26}$．
也即EX＜EY，其实际含义即表明该药物预防禽流感有效．

点评 本题主要考查概率与统计的应用，利用条件建立随机变量的分布列，考查学生的运算能力，综合性较强，