Question

10．若函数y=f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，3]，则函数F（x）=f（x-1）+$\frac{1}{f（x-1）}$的值域是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，3]
• B． [2，$\frac{10}{3}$]
• C． [$\frac{5}{2}$，$\frac{10}{3}$]
• D． [3，$\frac{10}{3}$]

Answer 1

分析 由函数y=f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，3]，可知f（x-1）∈[$\frac{1}{2}$，3]，换元后利用“对勾”函数的单调性求得答案．

解答 解：∵y=f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，3]，
∴t=f（x-1）∈[$\frac{1}{2}$，3]，
g（t）=F（x）=f（x-1）+$\frac{1}{f（x-1）}$=$t+\frac{1}{t}$在[$\frac{1}{2}$，1]上为减函数，在[1，3]上为增函数，
又g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$，g（1）=2，g（3）=3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$．
∴函数F（x）=f（x-1）+$\frac{1}{f（x-1）}$的值域是[2，$\frac{10}{3}$]．
故选：B．

点评 本题考查函数的值域的求法，训练了利用函数单调性求函数的值域，是中档题．