Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为a正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC中点，AC与BD交于O点．
（1）求证：BC⊥平面PCD；
（2）求点C到平面BED的距离．

Answer 1

分析 （1）先由已知得：PD⊥面ABCD推得PD⊥BC，再结合ABCD是正方形对应的BC⊥CD即可证：BC⊥面PCD；
（2）运用等体积法，即可求出点C到平面BED的距离．

解答 （1）证明：由已知得：PD⊥面ABCD
∴PD⊥BC
∵ABCD是正方形
∴BC⊥CD
又PD∩CD=D
∴BC⊥面PCD；
（2）解：等体积法，设点C到平面BED的距离为h．
∵DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，BD=$\sqrt{2}$a，BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，∴∠BED=90°∴S_△BDE=$\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}$，
∵S_△EDC=$\frac{1}{2}{a}^{2}$，
由等体积法，可得$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}{a}^{2}•\frac{a}{2}=\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}h$，∴h=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，
∴点C到平面BED的距离为$\frac{\sqrt{3}}{4}$a．

点评 本题主要考查线面垂直的证明，考查等体积法求点C到平面BED的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．