Question

15．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$，求：
（1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；
（2）$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式，计算即可，
（2）根据向量的夹角公式计算即可．

解答 解：（1）由题意：${|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|^2}=7⇒{\overrightarrow a^2}-2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}=7$，
则${1^2}-2\overrightarrow a•\overrightarrow b+4=7⇒\overrightarrow a•\overrightarrow b=-1$，
（2）$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）（\overrightarrow a+\overrightarrow b）={\overrightarrow a^2}-{\overrightarrow b^2}=1-4=-3$，
$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{{{\overrightarrow a}^2}+2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{{\overrightarrow b}^2}}=\sqrt{1+（-2）+4}=\sqrt{3}$，
设$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的夹角为α，则$cosα=\frac{（\overrightarrow a-\overrightarrow b）（\overrightarrow a+\overrightarrow b）}{{|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|•|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|}}=\frac{-3}{{\sqrt{7}•\sqrt{3}}}=-\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题考查了向量的数量积和向量的夹角公式，属于基础题．