Question

1．已知函数f_K（x）的定义域为实数集R，满足${f_K}（x）=\left\{{\begin{array}{l}{1，x∈K}\\{0，x∉K}\end{array}}\right.$（K是R的非空真子集），若在R上有两个非空真子集M，N，且M∩N=∅，则$F（x）=\frac{{{f_M}（x）+{f_N}（x）+1}}{{{f_{M∪N}}（x）+1}}$的值域为{1}．

Answer 1

分析 对F（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到F（x）的值域即可．

解答 解：当x∈（M∪N）时，f_M∪N（x）=1，而由于M∩N=φ，所以f_M（x）+f_N（x）=1，此时F（x）=1；
当x∉（M∪N）时，f_M∪N（x）=0，f_M（x）=f_N（x）=0，此时F（x）=1，
∴函数F（x）的值域为{1}．
故答案为{1}．

点评 本题主要考查了函数的值域、分段函数，解答关键是对于新定义的正确理解，属于创新型题目．