Question

8．已知函数f（x）=x²-2ax+b的值域为[-1，+∞），则函数g（x）=f'（x）+b的零点的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 求出a，b的关系，令g（x）=0，得到x=a-$\frac{b}{2}$=a-$\frac{{a}^{2}-1}{2}$，根据二次函数的性质求出其范围即可．

解答 解：∵f（x）=x²-2ax+b=（x-a）²+b-a²≥b-a²，
又∵f（x）∈[-1，+∞），
∴b-a²=-1，即b=a²-1，
又因g（x）=f'（x）+b=2x-2a+b，
若令g（x）=0，
则x=a-$\frac{b}{2}$=a-$\frac{{a}^{2}-1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（a-1）²+1≤1
故g（x）的零点取值范围是（-∞，1]，
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的零点问题以及转化思想，是一道中档题．