Question

6．已知椭圆G的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其短轴的两端点为A（0，1），B（0，-1）．
（1）求椭圆G的标准方程；
（2）若C，D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同的点，直线BC与x轴交于点M，判断以线段MD为直径的圆是否过点A，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知设椭圆G的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，（a＞1），e²=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，由此能求出椭圆G的标准方程．
（2）设C（x₀，y₀），则D（-x₀，y₀），x₀≠0，求出M（$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，0），推导出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AD}$≠0，由此得到点A不在以线段MD为直径的圆上．

解答 解：（1）∵椭圆G的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其短轴的两端点为A（0，1），B（0，-1），
∴由已知设椭圆G的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，（a＞1），
且e²=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，解得a²=2，
∴椭圆G的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）设C（x₀，y₀），则D（-x₀，y₀），x₀≠0，
∵A（0，1），B（0，-1），
∴直线BC的方程式y=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}x-1$，
令y=0，得${x}_{M}=\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，∴M（$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，0），
∴$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，-1），$\overrightarrow{AD}$=（-x₀，y₀-1），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{-{{x}_{0}}^{2}}{{y}_{0}+1}$-y₀+1，
又∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{1}=1$，
代入，得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{2（{{y}_{0}}^{2}-1）}{{y}_{0}+1}$+1-y₀=y₀-1，
∵-1＜y₀＜1，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AD}$≠0，∴∠MAD≠90°，
∴点A不在以线段MD为直径的圆上．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查点是否在圆上的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．